Study with Quizlet and memorize flashcards containing terms like sin 30, cos 60, sin 45, cos 45, sin 60, cos 30 and more. sin 180, sin 360, cos 90, tg 0, tg 180
Tożsamością trygonometryczną nazywamy pewną zależność między funkcjami trygonometrycznymi. Do podstawowych tożsamości trygonometrycznych zaliczyć możemy: \({sin^2 x+ cos^2 x = 1}\) tzw. jedynka trygonometryczna \({tgx \cdot ctgx = 1}\) Funkcje trygonometryczne sumy oraz różnicy kątów: \(sin(x+y) = sinx cos y +cosx siny\) \(sin(x-y)=sinxcosy - cosxsiny\) \(cos(x+y) = cosxcosy-sinxsiny\) \(cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny\) \({tg(x+y)={{tgx+tgy} \over {1-tg x \cdot tgy}}}\) \(tg(x-y)={{tgx - tgy} \over {1+tgx \cdot tgy}}\) \(ctg(x+y)={{ctgx \cdot ctgy -1} \over {ctg x + ctg y}}\) \(ctg(x-y)={{ctgx \cdot ctgy +1} \over {ctgx - ctgy}}\) Suma oraz różnica funkcji trygonometrycznych: \(sinx+siny = 2sin{{x+y} \over 2} \cdot cos{{x-y} \over 2}\) \(sinx - siny = 2sin {{x-y} \over 2} {\cdot cos {{x+y} \over 2}}\) \(cosx + cos y = 2cos {x+y \over 2} {\cdot cos {{x-y} \over 2}}\) \(cosx - cos y = -2sin {x+y \over 2} {\cdot sin {x-y \over 2}}\) \(tgx+tgy= {{sin(x+y) }\over {cosx \cdot cos y}}\) \(tgx - tg y = {{sin(x-y) \over {cos x \cdot cos y}}}\) \(ctgx + ctg y = {{sin(x+y)} \over {sinx \cdot siny}}\) \(ctgx - ctg y = {{sin(x-y)} \over {sinx \cdot siny}}\) Funkcje kąta podwójnego: \(sin2x = 2sinx cos x\) \(cos2x = cos^2x-sin^2x = 2cos^2x -1\) \(tg2x = {{2tg x} \over {1-tg^2x}}\) \(ctg2x = {{ctg^2x -1} \over {2ctgx}}\) Funkcje połowy kąta: \({|sin {x \over 2} |= \sqrt{{1-cosx} \over 2}}\) \({|cos {x \over 2} | = \sqrt{{1+cosx} \over 2}}\) \({|tg {x \over 2} | = \sqrt{{1-cosx} \over {1+cosx}}}\) \({|ctg{x \over 2} | = \sqrt {{1+cosx} \over {1-cosx}}}\) Odwrotności funkcji trygonometrycznych: \(sinx = {1 \over csc x}\) \(cosx = {1 \over sec x}\) \(tg x = {{{sin x} \over {cosx} }= {1 \over ctgx}}\) \(ctgx = {{cos x \over sin x} = {1 \over tgx}}\) Parzystość oraz nieparzystość funkcji trygonometrycznych: funkcje nieparzyste: sinus, tangens, cotangens \(sin(-x) = -sinx\) \(tg(-x) = -tgx\) \(ctg(-x) = - ctgx\) funkcje parzyste: cosinus \(cos(-x) = cosx\)
Wiedząc, że sinα= 1 4 oraz, że αjest kątem rozwartym, oblicz cos αoraz tg α. αjest kątem rozwartym, czyli α∈(90 ,180 ), jest w drugiej ćwiartce. sinα>0, cosα Interaktywne tablice trygonometryczne online: sin, cos, tg, ctg dla kątów 0-360 z dokładnością z zakresu 0-9 miejsca po przecinku. Tablice 4: Cotangens Znajdź kąt trójkąta (stopnie), jeżeli znana jest wartość cotangensa tego kąta. Tablice 3: Tangens Znajdź kąt trójkąta (stopnie), jeżeli znana jest wartość tangensa tego kąta. Tablice 2: Cosinus Znajdź kąt trójkąta (stopnie), jeżeli znana jest wartość cosinusa tego kąta. Tablice 1: Sinus Znajdź kąt trójkąta (stopnie), jeżeli znana jest wartość sinusa tego kąta. tg – czytaj: tangens a b przyprosto katna naprzeciw pryzprosto katna przy ctg = = α α α _ _ _ _ ctg – czytaj : kotangens 8.2. Zwi ązki mi ędzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego k ąta a) jedynka trygonometryczna sin 2 α+cos 2 α=1 b) α α α cos sin tg =, cos α≠0 c) α α α sin cos ctg =, sin α≠0 d) α α ctg tg 1 Tabelka dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla najczęściej spotykanych kątów: \(\alpha \) \(0^\circ \) \(30^\circ \) \(45^\circ \) \(60^\circ \) \(90^\circ \) \(\sin \alpha \) \(0\) \[\frac{1}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \(1\) \(\cos \alpha \) \(1\) \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{1}{2}\] \(0\) \(\operatorname{tg} \alpha \) \(0\) \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \(1\) \[\sqrt{3}\] nie istnieje \(\operatorname{ctg} \alpha \) nie istnieje \[\sqrt{3}\] \(1\) \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \(0\) Tabelka dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych: \(\alpha \) \(15^\circ \) \(18^\circ \) \(22^\circ 30'\) \(30^\circ \) \(45^\circ \) \(60^\circ \) \(75^\circ \) \(\sin \alpha \) \[\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\] \[\frac{\sqrt{5}-1}{4}\] \[\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\] \[\frac{1}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\] \(\cos \alpha \) \[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\] \[\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\] \[\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\frac{1}{2}\] \[\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\] \(\operatorname{tg} \alpha \) \[2-\sqrt{3}\] \[\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\] \[\sqrt{2}-1\] \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \(1\) \[\sqrt{3}\] \[2+\sqrt{3}\] \(\operatorname{ctg} \alpha \) \[2+\sqrt{3}\] \[\sqrt{5+2\sqrt{5}}\] \[\sqrt{2}+1\] \[\sqrt{3}\] \(1\) \[\frac{\sqrt{3}}{3}\] \[2-\sqrt{3}\] Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych dla wszystkich kątów ostrych: α sin α cos α tg α ctg α 0°010nie istnieje1° istnieje0Trygonometryczne/Równania/Szkoła średnia - Przeglądaj zadania, zestawy zadań i poradniki matematyczne, 62
Jedynka trygonometryczna Dla dowolnego kąta \(\alpha \) zachodzi równanie: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\] Dowód jedynki trygonometrycznej dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt ostry \(\alpha \). Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że: \[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{oraz}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\] Zatem: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}\] Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że: \[a^2+b^2=c^2\] Zatem: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \frac{a^2+b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}=1. \ _\blacksquare \] Wyjaśnienie sposobu zapisu Wyrażenie \(\sin^{2} \alpha\), to \(\sin \alpha \) podniesiony do drugiej potęgi. Czyli: \[\sin^{2} \alpha = (\sin \alpha)^2\] Zatem np. \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\), to: \(\sin^{2} \alpha = \left ( \frac{2}{3} \right )^2=\frac{4}{9}\). Analogicznie interpretujemy \(\cos^{2} \alpha, \operatorname{tg}^2 \alpha \text{ i }\operatorname{ctg}^2\alpha \) oraz wyższe potęgi funkcji trygonometrycznych. Wzory na tangens i cotangens. Dla dowolnego kąta \(\alpha \) (dla którego funkcje trygonometryczne są określone) zachodzą wzory: \(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =1\) \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\) \(\operatorname{ctg} \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\) Powyższe wzory są prawdziwe dla każdego kąta ostrego \(\alpha \) oraz dla wszystkich kątów, dla których funkcje są określone (tzn. nie pojawia się dzielenie przez \(0\) w mianowniku). Dowód wzorów dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt \(\alpha \). Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że: \[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{oraz}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\qquad \text{oraz}\qquad\operatorname{tg} \alpha =\frac{a}{b}\qquad \text{oraz}\qquad \operatorname{ctg} \alpha =\frac{b}{a}\] Zatem: \[\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1\] oraz: \[\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\operatorname{tg} \alpha \] a także: \[\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}=\frac{b}{a}=\operatorname{ctg} \alpha. \ _\blacksquare\] Gdy znamy wartość przynajmniej jednej funkcji trygonometrycznej, to za pomocą powyższych wzorów możemy obliczyć wartości wszystkich pozostałych funkcji trygonometrycznych. Oblicz \(\sin \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\cos \alpha =\frac{1}{3}\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\left ( \frac{1}{3} \right )^2 &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\frac{1}{9} &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha &= \frac{8}{9}\\[10pt]\sin \alpha &=\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{split}\] Teraz obliczamy tangens: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3}{1}=2\sqrt{2}\] Teraz obliczamy cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\] Oblicz \(\cos \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\left ( \frac{2}{5} \right )^2+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\frac{4}{25}+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\cos^{2} \alpha &= \frac{21}{25}\\[10pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5} \end{split}\] Teraz obliczamy tangens: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}\] Teraz obliczamy cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{21}}}=\frac{\sqrt{21}}{2}\] Oblicz \(\sin \alpha \text{, }\cos \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\operatorname{tg} \alpha =7\). Najłatwiej jest wyliczyć cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{7}\] Teraz skorzystamy ze wzoru na tangens oraz jedynki trygonometrycznej i ułożymy układ równań z dwiema niewiadomymi. Tymi niewiadomymi będą oczywiście szukane \(\sin \alpha \text{ i }\cos \alpha \). \[\begin{split} &\begin{cases}\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \\[10pt]&\begin{cases}7 =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \end{split}\] Z pierwszego równania możemy wyliczyć np. \(\sin \alpha \): \[\begin{split} 7 &=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\[6pt]7\cos \alpha &=\sin \alpha \\[6pt]\sin \alpha &=7\cos \alpha \end{split}\] Teraz wyznaczonego sinusa możemy podstawić do jedynki trygonometrycznej. W rezultacie otrzymamy równanie z jedną niewiadomą ( \(\cos \alpha \) ): \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt](7\cos \alpha )^2 +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]49 \cos^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]50 \cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]\cos^{2} \alpha &=\frac{1}{50}\\[6pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{\sqrt{50}}{50}=\frac{5\sqrt{2}}{50}=\frac{\sqrt{2}}{10} \end{split}\] Teraz wyliczymy sinus korzystając z wyznaczonego wcześniej wzoru: \[\sin \alpha =7\cos \alpha =7\cdot \frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}\]
Aprende gratuitamente sobre matemáticas, arte, programación, economía, física, química, biología, medicina, finanzas, historia y más. Khan Academy es una organización sin fines de lucro, con la misión de proveer una educación gratuita de clase mundial, para cualquier persona en cualquier lugar.6/9 anonim válasza: "a probléma csak az hogy a tanges tételnél lehagyták a rajzot, és a kotangenst meg kihagyták". A tangens-tételre is az általános háromszög ábrája vonatkozik: [link] Cotangens-tétel pedig nincs. A tangens tételt is ritkán használjuk, maradj inkább a sinus és cosinus tételnél.
Basic Trigonometric Inequalities. Unknown variable (angle): x. Set of integers: ℤ. Integer: n. Set of real numbers: ℝ. Real number: a. Trigonometric functions: sin x, cos x, tan x, cot x. Inverse trigonometric functions: arcsin a, arccos a, arctan a, arccot a. An inequality involving trigonometric functions of an unknown angle is called a
Re: Funkce - sčítání sin,cos,tg,ctg ↑ Richard Tuček: A jak je to prosím vás s cosinem? v učebnici mám jeden příklad, kde cosinus(-x) = cos(x). Když toto aplikuji zde u toho prvního příkladu, vyjde mi odm(2)/2 - 1 a přitom první člen má být záporný Kalkulator funkcji cyklometrycznych (kołowych) Obliczanie odwrotnych funkcji trygonometrycznych: arcus sinus (arcsin), arcus cosinus (arccos), arcus tangens (arctg), arcus cotangens (arcctg), arcus secans (arcsec), arcus cosecans (arccsc). Należy wybrać funkcję trygonometryczną poniżej oraz podać jej wartość w polu poniżej. .